Urodził się 19 sierpnia 1913 roku w Jarocinie. W kościele parafialnym św. Marcina przyjął chrzest, Pierwszą Komunię i bierzmowanie. Już jako mały chłopiec myślał o kapłaństwie. Także od dziecięcych lat zaczęło się jego spotkanie z Bogiem.

Najpierw przez ministranturę, potem przez uczestnictwo w Sodalicji Mariańskiej. Rodzicom o powołaniu powiedział dopiero po maturze. Nie sprzeciwili się decyzji, wręcz się ucieszyli.

Do seminarium duchownego ks. Kukwisz wstąpił w Gnieźnie. Niestety naukę przerwał wybuch II wojny światowej, ale ks. Stefan nie poddawał się i dalej kontynuował naukę w Metropolitarnym Seminarium Duchownym w Krakowie. Ówczesny metropolita krakowski ks. Sapieha przyjął go, ale ponieważ Niemcy zawiesili działalność seminarium, klerycy studiowali indywidualnie u profesorów, a następnie zdawali u nich egzaminy.

Święcenia kapłańskie przyjął 21 grudnia 1941 roku z rąk księdza biskupa Stanisława Rosponda w kaplicy sióstr Felicjanek. Pierwszą parafią były Szaflary na Podhalu, gdzie przebywał 8 miesięcy jako wikariusz. Po zakończeniu II wojny światowej powrócił do Gniezna. Pracował także na parafiach w Strzyżewie Kościelnym, Modliszewku, Mielżynie i Brudzewie , gdzie zachorował na płuca.

Od 1 lutego 1952 r. do 30 czerwca 1992 r. był proboszczem parafii św. Andrzeja i kustoszem Sanktuarium Matki Boskiej Pocieszenie w Golinie. Tutaj właśnie spędził 40 lat swego życia. Udzielił około 1300 chrztów, 500 ślubów, 1250 pogrzebów. Był szanowanym i cenionym proboszczem. Na początku pokrył cały dach nowymi gontami, ponieważ dach przeciekał. Drewnianą, zabytkową dzwonnicę, która była przeznaczona do rozbiórki gruntownie wyremontował. Po trzech latach zakupił trzy nowe, spiżowe dzwony o nazwach „Chrystus Król”, „Matka Boska Pocieszenia” i „Św. Andrzej Apostoł”, które wiszą do dnia dzisiejszego. Następnie odmalowano wnętrze kościoła, odremontowano wszystkie ołtarze, a Ołtarz Główny i obraz Matki Boskiej Pocieszenia poddano gruntownej konserwacji –przywrócono mu pierwotne kolory. Założono też nową modrzewiową podłogę, wstawiono nowe drzwi wejściowe. Wybudował dom przedpogrzebowy i ołtarz polowy przed kościołem. Parafianie często służyli mu pomocą we wszystkich tych przedsięwzięciach.

Ponieważ sam doznał wiele łask i opieki Matki Boskiej w czasie ciężkiej choroby, chciał rozszerzyć Jej kult w Golinie. Zapraszał sąsiednie parafie, aby organizowały pielgrzymki do golińskiego sanktuarium i nawiedzały cudowne miejsce. Przyjeżdżały więc i przychodziły różne grupy wiernych –dzieci pierwszokomunijne, ministranci, młodzież męska i żeńska, chorzy, kobiety i mężczyźni. Odbywały się też dwukrotnie rejonowe spotkania kapłanów.

Parafia rozrastała się, a wiadomość o Golinie i doznawanych łaskach zachęcały do nawiedzenia sanktuarium. Przyjeżdżali pielgrzymi z różnych stron Polski. Największą radość sprawiło mu (pomimo wielu trudności) przygotowywanie i sama koronacja obrazu Matki Boskiej Pocieszenia 23 sierpnia 1970 roku. Koronacji dokonał Prymas Tysiąclecia ks. Kardynał Stefan Wyszyński w asyście biskupów i licznie zgromadzonego duchowieństwa oraz sióstr zakonnych. Pielgrzymów z całej Polski naliczono około 40 000 osób.

1 lipca 1992 r. ks. Stefan przeszedł na emeryturę, ale do końca życia pełnił posługę kapłańską. Ksiądz radca Stefan Kukwisz zmarł po długiej chorobie w poniedziałek 22 marca 2004 roku, ale będzie on nadal żył w pomięci swoich parafian.